绝对值三角不等式的三种解法
绝对值三角不等式指的是：对于任意实数$a$和$b$，有$|sin a|+|cos b|le 1$。
以下是三种解法：
解法一：几何法
在平面直角坐标系内，以原点为中心，半径为1的圆为单位圆。对于任意一个角度 $a$ ，其对应的点为 $(cos a,sin a)$。
对于不等式 $|sin a|+|cos b|le 1$，也就是 $|sin a|$加上 $|cos b|$ 在单位圆上对应点 $(cos a,sin a)$、$(cos b,sin b)$ 与单位圆相交部分的长度和不大于 1。
通过画图可得，需要分三种情况讨论：
1. 当 $cos age 0$ 且 $cos bge 0$ 时，两点的相交长度为 $OA+OB$。
2. 当 $cos ale 0$ 且 $sin ble 0$ 时，两点的相交长度为 $OA-OB$。
3. 当其余情况时，则有 $2le OA+OB-OA+OBle 2$。
因此在所有情况下，不等式都成立。
解法二：三角函数法
我们可以利用三角函数恒等式 $sin^2x+cos^2x=1$ 来推导这个不等式。
对于任意数 $t$，有：
$begin{aligned} |sin t|+|cos t| &=sqrt{sin^2 t}+sqrt{cos^2 t}\ &le sqrt{sin^2 t+cos^2 t}\ &=1 end{aligned}$
因此对于不等式 $|sin a|+|cos b|le 1$，一定成立。
解法三：数学归纳法
我们可以通过数学归纳法证明该不等式。
当 $a=0$ 或 $b=0$ 时，等式左边为 $1$，右边为 $1$，显然不等式成立。
现在假设当 $a=k$ 或 $b=k$ 时，不等式成立。考虑当 $a=k+1$ 或 $b=k+1$ 时，不等式是否也成立。
对于 $a=k+1$，由于 $sin(k+1)=sin k cos 1+ cos k sin 1$，所以
$begin{aligned} |sin(k+1)|+|cos b|&=|(sin k cos 1+ cos k sin 1)|+|cos b|\ &le |sin k cos 1|+|cos k sin 1|+|cos b| \ &le |sin k|+|cos k|+|cos 1|\ &le 1 end{aligned}$
对于 $b=k+1$，同理可证。
因此我们假设成立，当 $a=k+1$ 或 $b=k+1$ 时，不等式仍成立，结合初始条件，由数学归纳法可得，对于任意实数 $a$ 和 $b$，不等式 $|sin a|+|cos b|le 1$ 成立。
绝对值不等式6个基本公式？
绝对值不等式的公式为：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示。|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。绝对值不等式的公式为：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
绝对值重要不等式推导过程：
我们知道|x|={x，(x>0);x，(x=0);-x，(x<0);
因此，有：
-|a|≤a≤|a|……①
-|b|≤b≤|b|……②
-|b|≤-b≤|b|……③
由①+②得：
-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|
即|a+b|≤|a|+|b|……④
由①+③得：
-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|
即|a-b|≤|a|+|b|……⑤
另：
|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|
|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|
由④知：
|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=>|a|-|b|≤|a+b|…….⑥
|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|=>|a|-|b|≥-|a+b|…….⑦
|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|=>|a|-|b|≤|a-b|…….⑧
|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=>|a|-|b|≥-|a-b|…….⑨
由⑥，⑦得：
| |a|-|b| |≤|a+b|……⑩
由⑧，⑨得：
| |a|-|b| |≤|a-b|……?
综合④⑤⑩?得到有关绝对值的重要不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：
|a-b|=|a|+|b|→ab≤0
|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0
|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0
同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0。
绝对值三角不等式等号成立条件
绝对值三角不等式公式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。一个是||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，这个不等式当a、b同方向时（正负符号相同），|a+b|=|a|+|b|成立。当a、b异向（正负符号不同）时，||a|-|b||=|a±b|成立。
另一个是||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，这个等号成立的条件刚好和前面相反，当a、b异向（正负符号不同）时，|a-b|=|a|+|b|成立。当a、b同方向时（正负符号相同）时，||a|-|b||=|a-b|成立。
高考能用：绝对值三角不等式吗
- 全国新课标2卷。涪订帝寡郜干佃吮顶经最后选修题，用那个| |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a| + |b|可以吗，我辽宁2015理科考生，我做题答案都没给这种方法
- 能用啊，这是公式
第三题怎么做？这种类型的，解绝对值三角不等式的题有什么技巧或者要注意的方法吗？
- 这跟三角没有关系啊2x+y，敞饥搬渴植韭邦血鲍摩x的系数大，因此最大值要x尽可能大x=2，y=a，2*2+a=5a=1
