积分中值定理是什么
积分中值定理是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理。
1、第一定理
如果函数在闭区间上连续，且在上不变号，则在积分区间上至少存在一个点 ξ，使下式成立：
2、第二定理
如果函数在闭区间上可积，且为单调函数，则在积分区间上至少存在一个点ξ ，使下式成立：
定理应用
1、积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。
2、某些带积分式的函数,
常常会有要求判定某些性质的点的存在的问题,
延伸阅读
积分中值定理成立的条件
条件：连续，或有有限个间断点，有界。
若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，则在积分区间（a，b）上至少存在一个点ξ，使∫（b，a）f（x）dx=f（ξ）（b-a）成立。其中，a、b、ξ满足：a≤ξ≤b。
对于积分中值定理的第一个证明，也可以增加一些步骤，使得结论在（a，b）上成立。但是对于这本书来说，因为有了第二个证明，书的严谨性和完整性已经具备了，所以第一个证明只写了较弱的结论。
积分中值定理的条件
定理的条件中要求f（x） 在闭区间上连续，仅在开区间上连续或者仅在闭区间上可积都不能保证结论成立．如（1）函数 y＝1x 在开区间（0，1）上可积，由定积分的几何意义可知，函数是不可积的，结论不能成立．（2）函数 y＝f(x)＝ 1， 0 ≤ x ≤1 2， 1 ＜ x ≤2，其在区间[0，2]上可积，且积分值为3．计算可得 ∫baf(x)dxb?a＝32，但在[0，2]区间内不存在ξ 满足 f(ξ)＝32．
关于拉格朗日中值定理与积分中值定理的区别
一、反映内容不同：
1、拉格朗日中值定理：
反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
2、积分中值定理：
揭示了一种将积分化为函数值， 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分。
二、作用不同：
1、拉格朗日中值定理：
可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。
2、积分中值定理：
积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。
两个函数相乘积分的中值定理
积分中值定理：f(x)在a到b上的积分等于(a-b)f(c)，其中c满足a<c<b。
如果函数 f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立
其中(a≤ξ≤b)。
扩展资料：
中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。
中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用
中值定理的三个公式
1、拉格朗日中值定理
中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成。内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理等。
2、柯西中值定理
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。
3、积分中值定理
积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。这个定理的几何意义为:若f(x)≥0，x∈[a,b]，则由x轴、x=a、x=b及曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积等于一个长为b-a，宽为f(ξ)的矩形的面积。
积分中值定理公式
积分中值的定理公式是 f(x)dx=f(ξ）(b – a)（a≤ξ≤b)
积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。
多元函数积分中值定理
积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等。
积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法，是数学分析的基本定理和重要手段，在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。
2积分中值定理的推广形式
1、若f与g都在[a,b]上连续,且g在[a,b]上不变号,则至少存在一点c属于[a,b],使得f乘以g在[a,b]上的积分等于f(c)乘以g在[a,b]上的积分。
2、设函数f在[a,b]上可积.若g为单调函数,则存在一点c属于[a,b],使得(f乘以g)的积分等于g(a)乘以(f在[a,c]上的积分)加上g(b)乘以(f在[c,b]上的积分)。
3积分中值定理的定理应用
1、求极限
在函数极限的计算中,如果含有定积分式,常常可以运用定积分的相关知识,比如积分中值定理等,把积分问题运用某些带积分式的函数,常常会有要求判定某些性质的点的存在的问题,有时运用积分中值定理能使问题迎刃而解。
2、运用估计
在大多数的积分式中,能找到其被积函数的原函数再进行求值的积分简直是凤毛麟角,当被积函数“积不出”或者原函数很复杂时,可用各种方法来估计积分。对于乘积型的被积函数,将变化缓慢的部分或积分困难的部分进行估计,可积的部分积分之。积分中值定理和各种不等式就是其中常用的方法,
3、不等式证明
积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证明不等式成立的目的。
在证明定积分不等式时,常常考虑运用积分中值定理,以便去掉积分符号,如果被积函数是两个函数之积时,可考虑用积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明,运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论,或者不等式根本不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后,则可以得到“>”的结论，或者成功的解决问题。
